Wir haben schon in der neunten Klasse Wurzeln kennengelernt. Es ist \(\sqrt{16}=4\), denn \(4^2=16\). Aber wir haben auch schon in der neunten erfahren, dass die Wurzel einer ganzen Zahl keine rationale Zahl ist, es sei denn sie ist ganz, wie bei \(\sqrt{16}\). Zwei Verfahren um rationale Näherungen dieser irrationalen Zahlen zu bestimmen sind das Heron-Verfahren und das Intervallschachtelungsverfahren. Dabei sucht man durch Quadrieren ein Intervall, bei dem die untere Grenze etwas kleiner und die obere Grenze etwas größer ist als die gesuchte Zahl. Z.B. \(\sqrt 2\): Es ist \(1^2< 2 < 2^2\), also liegt \(\sqrt 2\) im Intervall [1;2]. Das kann man durch Ausprobieren immer genauer machen:
\[\begin{matrix} 1,4^2&=&1,96 &< &2 &< &2,25&=&1,5^2 &\Rightarrow&\sqrt 2 \in [1,4;1,5] \\ 1,41^2&=&1,9881 &< &2 &< &2,0164&=&1,42^2 &\Rightarrow&\sqrt 2 \in [1,41;1,42]\\ 1,414^2&=&1,999396 &< &2 &< &2,002225&=&1,415^2 &\Rightarrow&\sqrt 2 \in [1,414;1,415]\\ 1,4142^2&=&1,99996164 &< &2 &< &2,00024449&=&1,4143^2 &\Rightarrow&\sqrt 2 \in [1,4142;1,4143] \\ \end{matrix} \]Aufgabe: Nr. 1 auf S. 219
Folgen die einen (endlichen) Grenzwert haben heißen konvergent , solche die das nicht haben heißen divergent . Aber was bedeutet es, einen Grenzwert zu haben? Anschaulich bedeutet es, dass es einen Wert gibt auf den alles zuläuft. Mathematisch gibt es viele Definitionen. Alle beziehen sich auf den Abstand der Folgeglieder zu diesem Grenzwert. Der Abstand muss "wenn man nach rechts geht" immer geringer (oder 0) werden. Formal kann man sagen, dass zu jeder Schranke \(d\) nur endlich viele Glieder einen Abstand größer als \(d\) zum Grenzwert haben. Das entspricht der Aussage, dass es einen Wert \(N\) gibt, so dass für alle \(n>N\) alle Werte in einem Streifen der Breite \(d\) um den Grenzwert liegen.
Aufgabe: Betrachte die Folge \(x_n=2- \frac 1 n \). Argumentiere mathematisch, weshalb diese Folge konvergiert und den Grenzwert 2 hat.
Mit dem GTR kann man betrachten, wie sich Folgen entwickeln. Auch wenn dies nur eine Schätzung ist, kann man mit dieser Hilfe Vermutungen anstellen, ob eine Folge konvergiert oder nicht und in manchen Fällen sogar den Grenzwert schätzen. Wichtig dafür ist es, dass man mit dem GTR Folgen berechnen kann.
Aufgabe: Nr. 3 auf S. 219 und die beiden Folgen (a) \(x_n = x_{n-1}+\frac 1 {n^2}\) und (b) \( x_n= (-1)^n\cdot\frac{n-10}{10n}\). Skizziere die beiden Folgen grob für \(n< 20\) und prüfe sie auf Konvergenz und Grenzwert.
Wenn eine Folge daraus entsteht, dass immer mehr Zahlen zusammengezählt werden, spricht man von einer Reihe. Auch wenn alle Zahlen, die zusammengezählt werden positiv sind, kann es passieren, dass die Reihe konvergiert. Andererseits kann es auch sein, dass eine Reihe nicht konvergiert, obwohl die Folgenglieder, die dazugezählt werden, immer kleiner werden. Für die endliche geometrische Reihe mit 5 Gliedern gilt zum Beispiel
\[ 1 + q + {q^2} + {q^3} + {q^4} = \frac {1-q^5} {1-q} \] bzw. mit n Gliedern \[ 1 + q + {q^2}+ \ldots + {q^n} = \frac {1-q^{n+1}} {1-q} \] und für die unendliche geometrische Reihe gilt, dass sie für \(| q |< 1\) konvergiert mit \[ 1 + q + {q^2} + \ldots = \frac {1} {1-q} .\]Aufgabe: (a) Prüfe für jede der Reihen, ob sie eine geometrische Reihe ist. Berechne die Grenzwerte. \[\begin{matrix}(1)& 1 + \frac 1 4 + \frac 1 9 + \frac 1 {16} + \frac 1 {25} + \ldots \\ (2)& 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + \ldots \\ (3)& 1 + \frac 1 4 + \frac 1 {16} + \frac 1 {64} + \frac 1 {265} + \ldots \end{matrix} \]
(b) Berechne den exakten Wert (Bruch) von \(1 + \frac 1 {3} + \frac 1 {9}+ \ldots + \frac 1 {3^{15}}\)