Die unendliche geometrische Reihe
a.) Die erste Reihe kann keine geometrische Reihe sein, denn \(\left ( \frac 1 4 \right ) ^2 \neq \frac 1 9 \).
Die zweite Reihe ist eine geometrische Reihe, denn \(0,1 ^2=0,01\) und \(0,1 ^3= 0,001\) usw. Dann ist \(q=0,1\) also
\[1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + 0,0001 + \ldots=\frac 1 {1-0,1} = \frac {10} 9\]
Die dritte Reihe ist eine geometrische Reihe, denn \(\left ( \frac 1 4 \right ) ^2 = \frac 1 {16}\)
usw. Dann ist \( \frac 1 4\) also
\[1 + \frac 1 4 + \frac 1 {16} + \frac 1 {64} + \frac 1 {265} + \ldots
=\frac 1 {1- \frac 1 4} = \frac 4 3\]
Die endliche geometrische Reihe
b.)\[
1 + \frac 1 {3} + \frac 1 {9}+ \ldots + \frac 1 {3^{15}}=
\frac {1-\left ( \frac 1 3 \right)^{16} } {1- \frac 1 3}=
\frac {21\thinspace 523\thinspace 360}{14\thinspace 348\thinspace 907}
\]