Grenzprozesse (Übersicht)

Beim Thema Grenzprozesse geht es darum, Kategorien zu finden, wie sich Prozesse verhalten, wenn sie sich einer Grenze nähern. Viele Beispiele dafür kennen wir vom Wachstum z.B.:

10 mg radioaktives Fluor zerfällt mit einer Halbwertszeit von einer Sekunde.

FunktionsgleichungWertetabelleFunktionsgraph
\[f(x)=10 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^x\]
x0123
\[f(x)\]1052,51,25
 Funktionsgraph
Spätestens beim Blick auf den Funktionsgraphen ahnt man, dass dieser Prozess, wenn er lange genug beobachtet wird, sich der 0 beliebig nähert. Alternativen wäre:

Eine Sonnenblume hat eine Höhe von 30cm erreicht. Sie kann bis zu 3m groß werden und wächst jede Woche 10% des möglichen Restwachstums.

Iterative GleichungWertetabelleGraph der Folge
\[f(x)=\left\{\begin{matrix} 0,3 & \mbox{; falls }x=0 \\ f(x-1)+0,1 \cdot \left(3-f(x-1)\right) & \mbox{; sonst} \end{matrix}\right.\]
x0123
\[f(x)\]0,30,570,8131,0317
 Funktionsgraph
Neben diesen altbekannten Prozessen haben wir einen neuen Prozess kennengelernt:

Das Heron-Verfahren.

(Seite 194 Nr. 1)
Wenn man ein Rechteck mit einer Fläche hat, kann dieses Rechteck Schritt für Schritt umgeformt werden, um sich immer mehr einem Quadrat der gleichen Fläche anzunähern. Das Beispiel zeigt ein Rechteck, 8cm x 2cm also mit der Fläche 16cm². Wenn man für die Breite den Mittelwert aus Länge und Breite nimmt (um ein Quadrat zu bekommen), wäre die Breite (8+2):2, also 10 (alle Rechnungen in cm).
Damit die Fläche 16 bleibt, muss jetzt die Höhe auf 16:5=3,2 gesetzt werden. Also ist 5cm x 3,2cm ein flächengleiches Rechteck(16cm²), welches sich von 8cm x 2cm in Richtung Quadrat bewegt hat.
Noch einmal: (5+3,2):2=4,1 und 16:4.1 ≈ 3,902
Heron 2 cm 8 cm 16 cm² 3,2 cm 5 cm 16 cm² ≈3,902 cm 4,1 cm 16 cm² An Rechnung und Bildern sieht man, dass es sich immer mehr an das Quadrat 4cm x 4xm annähert, da 4 zum Quadrat 16 ergibt. Mit einer Fläche wie 12cm² ist die Rechnung interessanter, denn die Wurzel aus 12 ist keine rationale Zahl.
Aufgabe Führe Aufgabe 1 auf Seite 194 durch.

Hausaufgabe Führe Aufgabe 2 auf Seite 195 durch. Vergleiche das animierte Bild!