Reihen
Die harmonische Reihe
Immer wenn Folgen dadurch entstehen, dass in jedem Schritt etwas zu einer Summe addiert wird, spricht man von einer
Reihe .
Beispiele: Aufgaben 13, 14 auf 200-201 oder einfach \(1+2+3+4+\ldots\) oder \(1 + (-1)+1 + (-1)+1 + (-1)+ \ldots\)
Aufgabe:Prüfe die beiden letzten Reihen auf Konvergenz.
Die Reihe der Aufgabe 14 auf S. 201 heißt harmonische Reihe . Sie hat keinen Grenzwert, sondern wird beliebig groß.
Das ist zuerst nicht klar, aber das Argument von Orsme (14c) beweist es.
Die geometrische Reihe
Die Reihe der Aufgabe 13 von Seite 200 ist ein Beispiel für eine geometrische Reihe . Ganz anders als bei der
harmonischen Reihe kovergiert diese, umso überraschender, wenn man die Folgenglieder untereinander schreibt.
Von einer geometrischen Reihe
spricht man immer dann, wenn alle natürlichen Potenzen einer Zahl \(q\) zusammengezählt werden. Z.B. für
\(q=\frac 1 2\) ist der Wert der Reihe \[S=\left( \frac 1 2\right)^0+\left( \frac 1 2\right)^1+\left( \frac 1 2\right)^2+\left( \frac 1 2\right)^3+\cdots=2\]
wie man anschaulich erkennen kann. Eigentlich fehlt bei dem Schokoladenbeispiel der este Term, am ersten Tag kommt noch eine ganze Schokolade dazu.
Das gibt dann zusammen mit der einen Tafel an allen anderen Tagen zusammen insgesamt zwei Tafeln.
(Anmerkung: Jetzt kommt eine lange Herleitung, diese wird in der Arbeit nicht abgfragt. Wer sich nur für die Arbeit vorbereiten will, kann jetzt
zur Summenformel springen.)
Um zu erkennen, welche Gestzmäßigkeit der geometrischen Reihe zugrundeliegt, betrachten wir zuerst endliche geometrische Reihen.
Das sind Reihen, bei denen man irgendwann aufhört, z.B.
\[S_3=1+\left( \frac 1 2\right)^1+\left( \frac 1 2\right)^2+\left( \frac 1 2\right)^3=
1+ \frac 1 2+ \frac 1 4+ \frac 1 8\]
Um \(S_3\) auszurechnen nehmen wir \(S_3\) mit \(1 - \frac 1 2\) mal und sehen was passiert:
\[\begin{matrix}\left(1 - \frac 1 2\right)S_3& = &
\left(1 - \frac 1 2\right)\cdot\left(1+ \frac 1 2+ \frac 1 4+ \frac 1 8\right)\\
& = & 1 \cdot 1 - \frac 1 2 \cdot 1 + 1 \cdot \frac 1 2- \frac 1 2 \cdot \frac 1 2 +
1 \cdot \frac 1 4 - \frac 1 2 \cdot \frac 1 4 + 1 \cdot \frac 1 8 - \frac 1 2 \cdot \frac 1 8\end{matrix}
\]
Und das kann man geschickt vereinfachen:
\[\begin{matrix}\left(1 - \frac 1 2\right)S_3
& = & 1 \cdot 1 & -& \frac 1 2 \cdot 1 + 1 \cdot \frac 1 2& -& \frac 1 2 \cdot \frac 1 2 +
1 \cdot \frac 1 4 & -& \frac 1 2 \cdot \frac 1 4 + 1 \cdot \frac 1 8 & -& \frac 1 2 \cdot \frac 1 8\\
& = & 1 & +& 0 & +& 0 & +& 0 & -& \frac 1 2 \cdot \frac 1 8 & = 1 - \frac 1 {16}\\
& = & 1 - \left ( \frac 1 2 \right)^4. \end{matrix}
\]
Also ist \(\left(1 - \frac 1 2\right)S_3
= 1 - \left ( \frac 1 2 \right)^4 \) oder:
\[S_3
= \frac{ 1 - \left ( \frac 1 2 \right)^4 } {1 - \frac 1 2}\]
Dieses Argument funktioniert aber genau so für \(\frac 1 2 = q \) und \(S_n=
1+q+q^2+q^3+\cdots+q^n\):
Summenformel für endliche geometrische Reihen:\[S_n
= \frac{ 1 - q^{n+1} } {1 - q}.\]
Für \(|q|< 1\) wird \(q^{n+1}\) beliebig klein, also gilt:
Summenformel für unendliche geometrische Reihen:\[S=
1+q+q^2+q^3+\ldots
= \frac{ 1 } {1 - q}.\]
Aufgabe: Finde die Formeln in der Formelsammlung.
Nun haben wir noch eines behandelt: Warum ist \(0,\overline{9}=1\)? Das steht hier.