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Gauß-Elimination

Methode zum Lösen linearer Gleichungssysteme (LGS); Notwendig, um im hilfsmittelfreien Teil LGS sicher lösen zu können.
LGS tauchen in der Vektorrechnung sehr oft auf, z.B. beim Gleichsetzen von verschiedenen Parameterdarstellungen.

Aufgaben: S. 21 Nr. 1-4.

Links: Arndt Brünner löst alles.

Orientieren und Vektoren

Der Raum wird mit einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben. Punkte werden in drei Dimensionen mit ihren Koordinaten nebeneinander dargestellt (z.B. P(1|-1|3,5) ).
Um Operationen auf dem Raum durchführen zu können, werden Vektoren erklärt, welche als Verschiebungen des Raums definiert sind. Über Ortsvektoren sind Vektoren mit Punkten verbunden, allerdings müssen die Koordinaten von Punkten immer horizontal und die von Vektoren immer vertikal (z.B. \(\vec v = \begin{pmatrix}2\\-2\\6,5\end{pmatrix}\)) geschrieben werden.
Im GTR können Vektoren am schnellsten mit ctrl \({[\hskip 5px]}\atop{(}\) und \(\gets\) \(\gets\) getippt werden.

Aufgaben: S. 141 Nr. 9, 14; S. 144 Nr. 13, S. 171 Nr. 1.

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Rechnen mit Vektoren

Man kann mit Vektoren bzw. Verschiebungen ganz anschaulich rechnen: Man kann eine Verschiebung rückwärts durchführen (Gegenvektor, \(-\vec v\)); zwei Verschiebungen hintereinander durchführen (Addition: \(\vec v + \vec w\)) und auch Vielfache und Bruchteile von Vektoren erhalten (Multiplikation mit Skalaren, \(s \cdot \vec v\)).
Man nennt die aus Addition und Multiplikation mit Skalaren entstehenden Terme Linearkombinationen (\(r_1\cdot\vec v_1+r_2\cdot\vec v_2+r_3\cdot\vec v_3+\ldots\)). Wenn bei einer Menge von Vektoren Einer als Linearkombination der Anderen darstellbar ist, so nennt man diese linear abhängig, andernfalls linear unabhängig. Im einfachsten Fall von zwei linear abhängigen Vektoren heißen diese Vielfache (denn \(\vec v = s \cdot \vec w\)) oder kollinear, drei linear abhängige Vektoren (also \(\vec u = r \cdot \vec v+s \cdot \vec w\)) nennt man manchmal komplanar, da alle drei in einer Ebene liegen.

Aufgaben: S. 147-148 Nr. 5, 6, 14, S. 171 Nr. 2.

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Skalarprodukt

Das Skalarprodukt (GTR: dotP({1,2,3},{-3,0,1})) ist eine extrem wichtige Rechenoperation auf Vektoren. Man nutzt sie u.a., um Vektoren auf Orthogonalität zu prüfen (\(\vec v \cdot \vec w =^ ? 0\)), um generelle Winkel zu berechnen (\(\vec v \cdot \vec w = |\vec v| |\vec w|cos(\alpha)\)) oder auch für Längenbestimmung (\(\vec v \cdot \vec v \) ist die Länge von \( v\) zum Quadrat).

Aufgaben: S. 164-165, Nr. 6, 10.

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Parameterdarstellungen

Um mit linearen Objekten im Raum zu rechnen, werden diese in Vektoren umgesetzt. Bei Punkten (0-dimensional) wäre das der Ortsvektor
\(P:\vec x=\overrightarrow {OP}\),
bei der 1-dimensionalen Geraden \(g\) durch A und B die Parameterdarstellung
\(g:\vec x=\overrightarrow {OA}+r \cdot\overrightarrow {AB}\)
und bei 2-dimensionalen Ebenen \(E\) durch Q, R und S dann eben
\(E:\vec x=\overrightarrow {OQ}+t \cdot\overrightarrow {QR}+u \cdot\overrightarrow {RS}\)
Anschaulich dient die erste Verschiebung, der Orts- bzw. Stützvektor dazu, das Objekt zu erreichen, und dann müssen noch so viele Richtungen angegeben werden, wie es Dimensionen gibt.
Die Stärke dieser Darstellung ist, dass beim Gleichsetzen zweier Darstellungen alle die Vektoren (bzw. Punkte) dargestellt werden, die zu beiden Objekten gehören. Alles was dazu getan werden muss, ist das entstehende LGS zu lösen. Die verschiedenen Möglichkeiten spielen die verschiedenen Lagebeziehungen wieder.

Aufgaben: S. 150-151 Nr. 5, 13; S. 160-162 Nr. 9, 11-14, S. 171 Nr. 3.

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Lagebeziehungen

Es gibt viele Möglichkeiten:

	Punkt	Gerade	Ebene
Punkt	identisch nicht identisch	auf Gerade nicht auf Gerade	auf Ebene nicht auf Ebene
Gerade	auf Gerade nicht auf Gerade	identisch Schnittpunkt windschief bzw. parallel	innerhalb der Ebene Schnittpunkt parallel
Ebene	auf Ebene nicht auf Ebene	innerhalb der Ebene Schnittpunkt parallel	identisch Schnittgerade parallel

Diese Tabelle entspricht, wie in Parameterdarstellungen beschrieben der Lösungsmöglichkeiten der LGS beim Gleichsetzen:

	Punkt	Gerade	Ebene
Punkt	1 0	1 0	1 0
Gerade	1 0	\(C_1\) 1 0	\(C_1\) 1 0
Ebene	1 0	\(C_1\) 1 0	\(C_1,C_2\) \(C_1\) 0

Dabei symbolisiert "\(C_1\)" die Information auf dem GTR, dass es mit einem freien Parameter unendlich viele Lösungen gibt (zwei bei zwei identischen Ebenen).
Die einzige Schwierigkeit tritt bei zwei Geraden auf: Wenn diese keinen Schnittpunkt haben, muss man am Richtungsvektor prüfen, ob es sich um parallele oder windschiefe Geraden handelt.

Aufgaben: S. 153-154 Nr. 1, 5; S. 157-158 Nr. 3, 4, 9; S. 160-162 Nr. 1, 12, S. 171 Nr. 4, 5

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Längen und Winkel

Sehr viele Aufgaben, insbesonder solche mit Anwendungsbezug, fragen nach Längen bzw. Entfernungen und Winkeln. Entfernungen werden normalerweise mit dem Betrag (aus dem Satz des Pythagoras) berechnet: Die Entfernung zwischen \(A(a_1\mid a_2 \mid a_3)\) und \(B(b_1\mid b_2 \mid b_3)\) ist: \[|\overrightarrow{AB}|=\left|\begin{pmatrix}b_1-a_1\\b_2-a_2\\b_3-a_3\end{pmatrix}\right|= \sqrt{(b_1-a_1)^2+(b_2-a_2)^2+(b_3-a_3)^2}.\] Im GTR kann der Betrag mit norm\(\left(\left[ \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{matrix}\right]\right)\) berechnet werden.
Entsprechend kann man den Winkel mit Vektorrechnung berechnen. Angenommen, man interessiert sich im Dreieck ABC für den Winkel bei A, so berechnet man den Winkel mit \[ cos(\alpha)={ {\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}} \over { \left|\overrightarrow{AB}\right|\left | \overrightarrow{AC}\right|} } \textrm{ oder } \alpha=arccos\left({ {\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}} \over { \left|\overrightarrow{AB}\right|\left | \overrightarrow{AC}\right|} }\right). \] Die Arcuscosinusfunktion erreicht man im GTR über die trig-Taste, dort heißt der Arcuscosinus \(cos^{-1}\).

Aufgaben: S. 172 Nr. 12.

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