HA
4a.)
\[\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 & 2 & -3\\
2 & 1 & 4 & -1 & 5\\
3 & 0 & -1 & 1 & 2\\
4 & -2 & 3 & 1 & -1\end{pmatrix}
\begin{matrix} \text{I}\\\text{II}\\\text{III}\\\text{IV}\end{matrix} \]
\[\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 & 2 & -3\\
0 & 3 & 2 & -5 & 11\\
0 & 3 & -4 & -5 & 11\\
0 & 2 & -1 & -7 & 11\end{pmatrix}
\begin{matrix} \text{I}\\\text{II}-2 \text{I}=\text{II}'\\\text{III}-3 \text{I}=\text{III}'\\\text{IV}-4 \text{I}=\text{IV}'\end{matrix} \]
(Nebenbemerkung: II' & III' geben sofort c=0, so dass man ab hier ohne c rechnen könnte.)
\[\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 & 2 & -3\\
0 & 3 & 2 & -5 & 11\\
0 & 0 & -6 & 0 & 0\\
0 & 0 & -7 & -11 & 11\end{pmatrix}
\begin{matrix} \text{I}\\\text{II}'\\\text{III}'- \text{II}''=\text{III}''\\3\text{IV}'-2\cdot \text{II}''=\text{IV}''\end{matrix} \]
Jetzt also III'' durch -6 und IV'' durch -11 teilen:
\[\begin{pmatrix}1 & -1 & 1 & 2 & -3\\
0 & 3 & 2 & -5 & 11\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1 & -1\end{pmatrix}
\begin{matrix} \text{I}\\\text{II}'\\\text{III}''' \\\text{IV}'''\end{matrix} \]
Also: \(d=-1\), \(c=0\), Einsetzen in II': \(3b+5=11\), also \(b=2\).
Dann Einsetzen in I:\(a-2+0-2=-3\) bzw. \(a=1\).
Daher \(L=\{(1;2;0;-1)\}\).
Probe in IV:
\[4-4+0-1=-1\] - passt!
4b.)
\[\begin{pmatrix}2 & 6 & -3 & 12 & -6\\
4 & 3 & 3 & 15 & 6\\
4 & -3 & 6 & 6 & 6\\
0 & -3 & 5 & -2 & 10\end{pmatrix}
\begin{matrix} \text{I}\\\text{II}\\\text{III}\\\text{IV}\end{matrix} \]
\[\begin{pmatrix}2 & 6 & -3 & 12 & -6\\
0 & -9 & 9 & -9 & 18\\
0 & -15 & 12 & 0 & 18\\
0 & -3 & 5 & -2 & 10\end{pmatrix}
\begin{matrix} \text{I}\\\text{II}-2 \text{I}=\text{II}'\\\text{III}-2 \text{I}=\text{III}'\\\text{IV}'\end{matrix} \]
(Nebenbemerkung: Wenn Zeilen einen gemeinsamen Faktor haben, erleichtert man sich das Leben durch
rausdividieren.)
\[\begin{pmatrix}2 & 6 & -3 & 12 & -6\\
0 & 1 & -1 & 1 & -2\\
0 & -5 & 4 & -6 & 6\\
0 & -3 & 5 & -2 & 10\end{pmatrix}
\begin{matrix} \text{I}\\\text{II}'/(-9)=\text{II}^*\\\text{III}'/3=\text{III}^*\\\text{IV}^*\end{matrix} \]
\[\begin{pmatrix}2 & 6 & -3 & 12 & -6\\
0 & 1 & -1 & 1 & -2\\
0 & 0 & -1 & -1 & -4\\
0 & 0 & 2 & 1 & 4\end{pmatrix} \begin{matrix} \text{I}\\\text{II}^*\\\text{III}^*+5 \text{II}^*=\text{III}''\\\text{IV}^*+3 \text{II}^*=\text{IV}''\end{matrix} \]
\[\begin{pmatrix}2 & 6 & -3 & 12 & -6\\
0 & 1 & -1 & 1 & -2\\
0 & 0 & -1 & -1 & -4\\
0 & 0 & 0 & -1 & -4\end{pmatrix}
\begin{matrix} \text{I}\\\text{II}'\\\text{III}''\\\text{IV}''+2 \text{III}''=\text{IV}'''\end{matrix} \]
Also: \(w=4\) und \(z=0\), Einsetzen in II': \(y+4=-2\), also \(y=-6\).
Dann Einsetzen in I:\(2x-36+0+48=-6\) bzw. \(2x=-18\) oder \(x=-9\).
Daher \(L=\{(9;-6;0;4)\}\).
Probe in III (nicht in IV, da hier x nicht getestet würde):
\[-36+18+0+24=6\] - passt!
4c. Lösung ist \(L=\{(2;4;0;3)\}\), Rechnung z.B. bei Arndt Brünner .
Sicherheitshalber noch die Probe in IV:
\[4-4+0+3=3\]
-passt!