Vertiefende Aufgaben Vektorrechnung

(b)(i) (Überlegungen)

Volumen einer Pyramide ist Grundfläche mal Höhe durch 3, Laut Buch: Grundfläche ABC, Spitze D. Also gibt es offenbar die Reihenfolge:

1. Grundfläche ausrechnen, dazu:
- a. Länge \(a\) der Grundseite AB berechnen
- b. Höhe \(h_D\) des Dreiecks berechnen
- c. \( A_D\) Fläche Dreieck: Grundseite mal Höhe durch 2
2. Höhe der Pyramide ausrechnen, dazu:
- a. Normalenvektor \( \vec n=\vec u \times \vec v \) der Ebene ausrechnen
- b. \( \vec n \) normieren: \(\vec n_0=\vec n /|\vec n|\)
- c. Höhe \(h_P\) mit der Hesseschen Normalform bestimmen
3. Das Volumen \(V=A_D \cdot h_P / 3\).

genauer ansehen.

(1a.)

\[ \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}\] \[a=\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{4^2+0^2+3^2}=\sqrt{25}=5\]

(1b.)

Die Höhe \(h_D\) ist der Abstand von C zur Geraden \(g\) durch AB. Also muss zuerst g aufgestellt werden: \[g:\vec x=\overrightarrow{0A}+r\cdot\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}\] dann die zu \(g\) senkrechte Ebene E durch C: \[E:\left(\vec x-\overrightarrow{OC}\right)\cdot\overrightarrow{AB}=0\] \[\Leftrightarrow E:\left(\vec x -\begin{pmatrix}7\\12\\4\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}=0\] Jetzt den Schnittpunkt \(F_D\), also den Lotfußpunkt des Dreiecks von \(g\) und \(E\) bestimmen, indem man g in \(E\) einsetzt und \(r\) bestimmt: \[\Leftrightarrow \left(\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}7\\12\\4\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}=0\] \[\Leftrightarrow \left(r\cdot\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-3\\-12\\-4\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}=0\] \[\Leftrightarrow 25\cdot r+12-12=0\]\[\Leftrightarrow 25\cdot r=0\]\[\Leftrightarrow r=0\] Also ist der Fußpunkt \(F_D\) gleich A und das Dreieck rechtwinklig mit einem rechten Winkel bei A. Sicherheitshalber kontrollieren: \[\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}3\\12\\4\end{pmatrix}\] und damit ist offensichtlich \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0\). Nun gut. Die Höhe des Dreiecks ist dann ja \(|\overrightarrow{AC}|\), also: \[h_D=\sqrt{3^2+12^2+4^2}=\sqrt{9+144+16}=\sqrt{144+25}=\sqrt{169}=13\]

(1c.)

\[A_D={{a\cdot h}\over 2}={{5\cdot 13} \over 2}={{65}\over 2}\]

(2a.)

Mit \(\vec u=\overrightarrow{AB}\) und \(\vec v=\overrightarrow{AC}\) ist \[\vec n=\vec u\times \vec v=\begin{pmatrix}-4\\0\\3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}3\\12\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-36\\25\\-48\end{pmatrix}\]

(2b.)

\[|\vec n|=\sqrt{36^2+25^2+48^2}=\sqrt{1225+71+625+2500-200+4}=\sqrt{4225}=65\] Also: \[\vec n_0={1 \over {65}} \cdot \begin{pmatrix}-36\\25\\-48\end{pmatrix}\]

(2c.)

Hessesche Normalform der Ebene durch A mit Normalen \(\vec n_0\): \[ E:\left(\vec x -\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-36\\25\\-48\end{pmatrix}\cdot {1 \over {65}}=0\] und den Ortsvektor zu D einsetzen um den Abstand zu bestimmen: \[ h_P=\left|\left(\begin{pmatrix}8\\5\\9\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix}\right)\cdot\begin{pmatrix}-36\\25\\-48\end{pmatrix}\cdot {1 \over {65}}\right| =\left|{{4 \cdot (-36)+5\cdot 25+9\cdot (-48)}\over{65}}\right|=\left|{{-451}\over{65}}\right| ={{451}\over6} \]

(3.)

Und schließlich: \[ V={1 \over 3}A_D\cdot h_P={{1 \cdot 65 \cdot 451} \over {3 \cdot 2 \cdot 65}} ={{451}\over 6} =75{1\over6}\]