(a)(i) (Überlegungen)
S ist der Schnittpunkt von g und h, die Lagebeziehung wird durch die Aufgabenstellung gegeben, also muss nur eine Punktprobe gemacht werden.(ii) (Überlegungen)
A ist ein Punkt auf der Geraden g. Also kann ich die Koordinaten \(A(a_1\mid a_2\mid a_3)\)mit \(a_3=1\) und \(\overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}\) ansetzen. Daraus kann der Parameter \( r\) bestimmt werden und damit \(a_1\) und \(a_2\).(iii) (Überlegungen)
Die Länge von \(\overrightarrow{SJ}\) ist der Betrag des Vektors. Den Winkel kann man durch Einsetzen in die Formel bestimmen.(a)(i) (Bearbeitung)
\(S\) ist offenbar der Schnittpunkt von \(g\) und \(h\). Also: \[ \begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\4,5\\-2\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix}0\\-3\\4\end{pmatrix} \] In der ersten Koordinate steht \(2+r \cdot (-1)=0\), also \(r=2\). Da die Aufgabenstellung einen Schnittpunkt vorraussetzt, kann dieser mit \(r=2\) berechnet werden, also \(\overrightarrow {OS}=\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}+2 \cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}\). (Wer möchte kann zur Sicherheit auch \(t\) in den Koordinaten 2 und 3 ausrechnen, beides ergibt \(t=1,5\)). Also: \(S(0 \mid 0 \mid 4)\)(ii) (Bearbeitung)
\(A\) liegt auf \(\overline{SJ}\) mit einer dritten Koordinate von 1. Also: \[ \overrightarrow{OA}=\begin{pmatrix}2\\-2\\0\end{pmatrix}+r \cdot\begin{pmatrix}-1\\1\\2\end{pmatrix} \textrm{ und } 1=0 + r \cdot 2, \textrm{ also } r={1 \over 2} \textrm{ und } A(1,5\mid 1,5 \mid 1). \](iii) (Bearbeitung)
\[ \left|\overrightarrow{SJ}\right|= \left|\begin{pmatrix}2-0\\-2-0\\0-4\end{pmatrix}\right|=\sqrt{4+4+16}=\sqrt{24}\approx 4,90 \] Die Länge von \(SJ\) beträgt etwa 4,90 m. (iv) Sei \(\vec h =\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}\), dann gilt für den gesuchten Winkel \(\alpha\): \[ \alpha=arccos\left({\overrightarrow{SJ}\cdot\vec h}\over{|\overrightarrow{SJ}|\cdot|\vec h|}\right) =arccos\left({2+2}\over{\sqrt {24} \cdot \sqrt{2}}\right)\approx 54,7° \] Also beträgt der Neigungswinkel ungefähr 54,7°.