Beispiele für Reihen
\[\begin{matrix}
H & = & 1 & + & \frac 1 2 & + & \frac 1 3 & + & \frac 1 4 & + & \frac 1 5 & + & \frac 1 6 & + & \frac 1 7
& + & \frac 1 8 & + & \frac 1 9
& + & \frac 1 {10} & + & \frac 1 {11} & + & \frac 1 {12} & + & \frac 1 {13} & + & \frac 1 {14}
& + & \frac 1 {15} & + & \frac 1 {16}+\cdots
& = & \mbox{konvergiert nicht,}\\
P & = & & & \frac 1 2 & + & \frac 1 3 & & & + & \frac 1 5 & + & & + & \frac 1 7
& & & &
& & & + & \frac 1 {11} & & & + & \frac 1 {13} & &
& & & & \cdots
& = & \mbox{ konvergiert nicht,}\\
E_2 & = & 1 & + & & & & & \frac 1 4 & + & & & & &
& & & & \frac 1 9
& & & & & & & & & &
& & & + & \frac 1 {16}+\cdots
& = & \frac {\pi^2} 6,\\
E_4 & = & 1 & + & & & & & & & & & & &
& & & &
& & & & & & & & & &
& & & & \frac 1 {16}+\cdots
& = & \frac {\pi^4} {90},\\
G_\frac 1 2 & = & 1 & + & \frac 1 2 & + & & & \frac 1 4 & + & & & & &
& + & \frac 1 8 & + &
& & & & & & & & & &
& & & & \frac 1 {16}+\cdots
& = & 2.
\end{matrix}\]
Dabei ist \(H\) die harmonische Reihe, \(P\) die Reihe über alle Primzahlen (es ist
überhaupt nicht klar, dass die nicht konvergiert),
\(E_2\) die Euler-Summe über die Quadratzahlen (\(1,4,9,16,25,\ldots\)) und \(E_4\) die
Euler-Summe über die vierten Potenzen (\(1,2^4=16,3^4=81,4^4=256,\ldots\)) [mehr dazu für Interessierte
hier und hier.],
sowie \(G_{\frac 1 2}\) die geometrische Reihe
zu \(q=\frac 1 2 \).
Übrigens hat Leonhard Euler um 1735 (also ohne GTR) den Grenzwert \(E_{26}\) der Reihe über die 26.Potenzen ausgerechnet:
\[
E_{26}=1 + \frac 1 {2^{26}}+ \frac 1 {3^{26}}+ \frac 1 {4^{26}}+\cdots=
\frac {1\thinspace 315\thinspace 862 \cdot \pi^{26} }
{11\thinspace 094\thinspace 481\thinspace 976\thinspace 030\thinspace 578\thinspace 125}.
\]
Und falls ihr ein seitdem ungelöstes Problem in Angriff nehmen wollt: Man weiß, dass von den Zahlen
\(E_5,E_7,E_9\) und \(E_{11}\) mindestens eine irrational ist, aber man weiß nicht welche (oder ob
überhaupt eine von ihnen rational ist - das wäre eine Überraschung). Ruhm und Reichtum sind
gewiss!