Schon in der fünften Klasse lernt man periodische Brüche kennen: \(\frac 1 9 = 0,\overline 1 = 0,111111111.....\).
Dies ergibt sich aus dem schriftlichen Dividieren, aber die eigentliche Bedeutung der Schreibweise "Periode 1" wird nicht
erklärt. Diese Bedeutung können wir jetzt verstehen: \( 0,\overline 1 \) ist der Grenzwert der konvergenten
Folge \(0,1+0,01+0,001+0,0001+\ldots\). Wir wissen jetzt, dass diese Reihe konvergiert, denn es ist
fast die geometrische Reihe zu \(q=0,1\), bloß die \(1\) zu Beginn fehlt. Mit
\[S=1+0,1+0,01+0,001+...=\frac 1 {1-0,1}=\frac 1 {\frac 9 {10}}=\frac {10} 9\]
folgt:
\[S= 1,\overline 1=\frac {10} 9 \]
und
\[S-1= 0,\overline 1=\frac {10} 9-1=\frac 1 9 \]
und schließlich:
\[9 \cdot(S-1)= 0,\overline 9=\frac 9 9 =1.\]
Oder in dem bekannten Kovergenzbild: 0,9 ist nicht die Zahl, die entsteht, wenn ich
zu 0,9 noch 0,09 und 0,009 usw. dazuzähle, sondern es ist der Grenzwert dieses Prozesses.
Da diese Folge aber beliebig dicht an 1 herankommt (egal wie klein wir \(d\) wählen), gilt
\(0,\overline 9 = 1\).
Aufgabe: Erkläre einer Person deiner Wahl, warum \(0,\overline 9 = 1\) gilt.