(b)(i) (Überlegungen)

Volumen einer Pyramide ist Grundfläche mal Höhe durch 3, am besten mal eine von den Pyramiden genauer ansehen.

(ii) (Überlegungen)

Das wird wohl leichter, wenn man (i) durchschaut hat.

(b)(i) (Bearbeitung)

Eine der vier Pyramiden ist ACFB. Diese teilt sich mit ACFH die Grundfläche ACF. Da das Volumen einer Pyramide durch die Formel Grundfläche mal Höhe durch 3 berechnet werden kann, wäre die Aufgabe gelöst, wenn die Höhe der kleinen Pyramide die Hälfte der Höhe der größen Pyramide ist. Das passiert genau dann, wenn der Schnittpunkt S der Ebene ACF mit der Gerade HB die Strecke HB im Verhältnis 2:1 teilt. Die Gesamtlänge von HB ist \(\sqrt{4^2+4^2+4^2}=4\sqrt 3\)}. S kann mit Gleichsetzen berechnet werden: \[ \begin{pmatrix}4\\0\\0\end{pmatrix} +r \cdot\begin{pmatrix}-4\\4\\0\end{pmatrix} + s \cdot\begin{pmatrix}0\\4\\4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+t \cdot\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix} \] ergibt \(r+t=1\), \(r+s=t\) und \(s+t=1\) mit der Lösung \(r={1 \over 3}\), \(s=-{1\over3}\) und \(t={2\over3}\) [oder GTR:solve].
Aber \(t={2 \over 3 }\) besagt ja nichts anderes, als das S die Strecke HB im Verhältnis 2 zu 1 teilt, was zu beweisen war.
Alternative: Volumen von Würfel und Pyramide ausrechnen und die Differenz durch 4 teilen, um das Volumen der kleinen Pyramiden zu bestimmen.

(ii) (Bearbeitung)

Wie im ersten Abschnitt muss dazu die Höhe der Pyramide ACFP das k-fache der Höhe von ACFH sein. Wir wissen, dass die Pyramide eine Höhe von 0 hat, wenn der Punkt P dem Punkt S entspricht, also \[ \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+{2 \over 3} \cdot\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix}, \] bzw. der Parameter \({2\over3}\) ist. Außerdem ist die Höhe von ACFP die Gleiche wie die von ACFH, also das Volumen das 1-Fache von ACFH, wenn der Punkt P auf H liegt, also der Parameter 0 ist. Die lineare Funktion die durch die Punkte (0|2/3) und (1|0) geht ist: \(y={2 \over 3}(1-x)\). Damit ergibt sich als Möglichkeit für den Punkt P in Abhängigkeit von \(k\): \[ \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+ {2 \over 3} \cdot\left(1-k\right) \cdot\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+ {8 \over 3} \cdot\left(1-k\right) \cdot\begin{pmatrix}1\\1\\-1\end{pmatrix} \] und damit \(P\left({8 \over 3} \cdot\left({1}-k\right) \mid{8 \over 3} \cdot\left({1}-k\right) \mid 4 - {8 \over 3} \cdot\left({1}-k\right) \right )\). Die Pyramide ACFP mit diesem Punkt P hat für k=0 und k=1 das k-fache Volumen von ACFH und das Volumen ist eine lineare Funktion der Höhe.

Zur Probe, für \(k=2\): \[ \overrightarrow{OP}=\begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}+ {2 \over 3} \cdot\left({1}-2\right) \cdot\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\4\end{pmatrix}- {2 \over 3} \cdot\begin{pmatrix}4\\4\\-4\end{pmatrix} \] also um 2/3 der Strecke HB weiter verlängert und damit doppelt so hoch.